Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В1С1, АD

Задача. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В₁С₁, АD.

б) Найдите угол между плоскостью A₁BD и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В₁С₁, АD.

Решение

Первый способ решения

Середина АВ – точка М; середина В₁С₁ – точка N, середина  AD – точка P. Проведем прямую МР – пересечения плоскости MNP с основанием. Секущая плоскость MNP пересечет верхнее основание по прямой, проходящей через точку  N параллельно МР, и эта прямая NE пересечет C₁D₁ в точке Е — середине C₁D₁. Прямая МР пересечет CD в точке Х.

Таким образом, секущая плоскость имеет с гранью CC₁D₁D две общие точки Е и Х, поэтому пересечет эту грань по прямой EF, причем точка F – середина DD₁. Прямая МР пересечет ВС в точке У. Тогда плоскость MNP пересечет грань ВВ₁С₁С по прямой УN и пересечет ВВ₁ в точке Z, которая также является серединой ВВ₁. Переднюю грань куба плоскость MNP пересечет по прямой ZМ. Итак, мы построили сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В₁С₁, АD. Получился правильный шестиугольник MZNEFP.

Плоскость A₁BD – правильный треугольник, стороны которого являются диагоналями равных квадратов – граней куба. Плоскости MNP и A₁BD имеют две общие точки Q и Q₁, следовательно, пересекутся по прямой QQ_1.

Найдем угол между плоскостью A₁BD и плоскостью MNP. Это будет угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными  QQ₁ – линии пересечения наших плоскостей. Построим этот угол.

Проведем A₁О, где О – пересечение диагоналей квадрата ABCD. Медиана A₁О в равностороннем ∆BA₁D является и высотой. A₁О пересечет в точке К отрезок QQ₁, который делит стороны A₁B и A₁D в отношении  1 : 4, считая от точек В и D, следовательно, и ОК : A₁О = 1 : 4.

Почему в отношении 1: 4? Смотрите:

Медиана BQ в этом треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т.е.

Следовательно, BQ : A₁B = 1 : 4. Аналогично, DQ₁ : A₁D =1 : 4. Треугольники A₁QQ₁ и A₁BD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу ВА₁D между этими сторонами. QQ₁ II BD, треугольники QA₁K и BA₁O также подобны по углам, образованным соответственно параллельными сторонами, поэтому и ОК : A₁О = 1 : 4.

Так как А₁О ⊥ BD и QQ₁ II BD, то А₁О ⊥ QQ₁, а значит и OK⊥QQ₁.

Так как BD || MP и BD || QQ₁, то MP || QQ_1.

Обозначим через S точку пересечения MP с  АС — диагональю квадрата АBСD.

KS – расстояние от МР до QQ₁, т.е. KS ⊥QQ₁ и угол OKS – линейный угол между плоскостью A₁BD и плоскостью MNP. Обозначим  угол OKS через α. Проведем KT⊥OS. Треугольник OKT подобен  треугольнику OA₁A и OT:OA=OK:ОА₁=1:4.

Так как в ∆OKS высота КТ является и медианой, то ∆OKS – равнобедренный. КТ– биссектриса искомого угла α. Обозначим угол А₁ОА через φ. Из прямоугольного ∆OAA₁ найдем

Углы при основании OS равнобедренного треугольника OKS равны φ, следовательно, угол α = 180°-2φ. Тогда  tgα = tg(180⁰-2φ) = -tg2φ.

Второй способ решения

А можно решить так: установим, что ∆OKS – равнобедренный и проведем SL⊥OK.

Из прямоугольного треугольника SLK, по определению тангенса острого угла, следует, что tgα = SL : KL. Обозначим KL = x.

Из ∆KLS по теореме Пифагора: SL²=KS²-KL²

Из ∆ОLS по теореме Пифагора: SL²=ОS²-ОL². Левые части равенств равны, значит, и правые части равенств будут равны:

KS²-KL² = ОS²-ОL². Подставляем данные:

Третий способ решения

Однако, на мой взгляд, самым целесообразным (естественным) было бы рассуждать так:

установили, что угол OKS – искомый и обозначили его через α. Применим теорему косинусов к этому треугольнику и выразим косинус α.

Высота А₁О в правильном треугольнике ВА₁D равна произведению стороны А₁В на синус 60° (катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла). Если ребро куба обозначить через а, то

где r₆ – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник  MZNEFP.

Если обозначить сторону правильного шестиугольника через b, то радиус вписанной окружности

Подставляем значения OK, KS, OS и найдем косинус α.

Дорогие друзья, мы решили данную задачу тремя способами (но понятно, что способов больше!), и вы должны знать, что вольны выбирать любой способ решения. Проверяющие вас экзаменаторы зачтут любое обоснованное решение. Да, ну а все же, давайте убедимся в том,