В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,
AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:
Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3. Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Проведем отрезки LE и LD.
∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды. Плоскости DEL и ABC пересекаются по прямой DE. Линейным углом между этими плоскостями будет ∠AOL, так как это угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными DE. На самом деле: AO⟘DE и LO⟘DE, ведь LO — медиана и высота равнобедренного ∆ DEL. Искомый угол AOL обозначим через α. Проведем LK⟘AO и найдем α из прямоугольного ∆ OKL.
Нам нужно найти и LK и OK.
Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Имеем:
Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.
Найдем АО, как радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:
где а – сторона правильного треугольника.
Подставляем нужные значения в равенство ( * ).
Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.
Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
