Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, А1 и D1.

Задание. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, А₁ и D₁.

б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁.

Решение

а) Так как секущая плоскость пересекает верхнюю грань по ребру A₁D₁ , то и нижнюю грань она пересечет по прямой, проходящей через точку В и параллельной A₁D₁, т.е. по прямой ВС. Таким образом, прямоугольник A₁D₁СВ – плоскость сечения.

б) Проведем C₁F⏊A₁В (A₁В – прямая по которой пересекаются плоскости BA₁C₁ и BA₁D₁).

В равностороннем ∆ A₁C₁В отрезок C₁F – высота. Если ребро куба обозначить через а, то

Точку F соединим с точкой К – центром квадрата BC₁D₁D ( задней грани куба). FK⊥А₁В. Почему? Так как FK – отрезок, соединяющий центры передней и задней граней, то он будет перпендикулярен каждой из этих граней, а значит, будет перпендикулярен и отрезку А₁В. Отрезок  FK  будет параллелен и равен ребрам ВС и A₁D₁, т.е. FK=a.

Угол С₁FК – линейный угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁. Обозначим этот угол через α. Рассмотрим треугольник С₁FК. Имеем:

По теореме косинусов найдем косинус угла С₁FК.

Подставим все имеющиеся значения в (*).