Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v=v0*cos 2πt/T

Задача. Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \displaystyle v = v_0 \cos \frac{2\pi t}{T}, где t — время с момента начала колебаний, T = 2 c — период колебаний, v_0 = 2 м/с. Кинетическая энергия E  (в джоулях) груза вычисляется по формуле \displaystyle E = \frac{mv^2}{2}, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Для нахождения кинетической энергии груза через 50 секунд после начала колебаний, сначала найдём скорость груза в этот момент времени.

Известно, что \displaystyle v = v_0 \cos \frac{2\pi t}{T}, где v_0 = 2 м/с, T = 2 с и t = 50 с.

Подставим данные в формулу для v:

\displaystyle v = 2 \cos \frac{2\pi \cdot 50}{2} \\ v = 2 \cos 50\pi

Так как косинус — периодическая функция с периодом 2\pi, то \cos 50\pi = \cos 25 \cdot 2\pi . Косинус целого числа полных периодов равен 1.

Следовательно, \cos 50\pi = 1.

Таким образом, v = 2 \cdot 1 = 2 м/с.

Теперь найдём кинетическую энергию груза:

\displaystyle E = \frac{mv^2}{2}

где m = 0,58 кг, v = 2 м/с.

Подставим данные в формулу для E:

\displaystyle E = \frac{0,58 \cdot 2^2}{2} = \frac{0,58 \cdot 4}{2} = \frac{2,32}{2} = 1,16 джоулей.

Таким образом, кинетическая энергия груза через 50 секунд после начала колебаний равна 1,16 джоулей.

Ответ: 1,16.