Задача. На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Решение
Пусть x — количество деталей, которые делает первый рабочий за час, тогда второй рабочий за час делает (x - 4) деталей.
Тогда первый рабочий изготовит 312 деталей за \displaystyle \frac{312}{x} часов, а второй рабочий изготовит 480 деталей за \displaystyle \frac{480}{x - 4} часов.
Из условия задачи известно, что первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй, то есть:
\displaystyle \frac{480}{x - 4} - \frac{312}{x} = 11Для того чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю:
\displaystyle \frac{480x - 312(x - 4)}{x(x - 4)} = 11Раскроем скобки в числителе:
\displaystyle \frac{480x - 312x + 1248}{x(x - 4)} = 11Приведем подобные слагаемые:
\displaystyle \frac{168x + 1248}{x^2 - 4x} = 11Умножим обе части на знаменатель:
168x + 1248 = 11(x^2 - 4x)Раскроем скобки справа:
168x + 1248 = 11x^2 - 44xПеренесем все слагаемые в одну сторону:
\displaystyle 11x^2 - 44x - 168x - 1248 = 0 \\[5mm] 11x^2 - 212x - 1248 = 0 \\[5mm] D = (-212)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-1248) \\[5mm] D = 44944 + (4 \cdot 11 \cdot 1248) \\[5mm] D = 44944 + 54912 \\[5mm] D = 99856Теперь вычислим корни уравнения:
\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{212 \pm \sqrt{99856}}{22}Извлекая квадратный корень из дискриминанта:
\displaystyle \sqrt{99856} = 316Теперь найдем корни:
\displaystyle x_{1} = \frac{212 + 316}{22} \\[5mm] x_{1} = \frac{528}{22} \\[5mm] x_{1} = 24и второй корень:
\displaystyle x_{2} = \frac{212 - 316}{22} \\[5mm] x_{2} = \frac{-104}{22} \\[5mm] x_{2} = -4.72Поскольку количество деталей, изготовленных за час, не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительный корень. Таким образом, первый рабочий изготавливает 24 детали в час.
Ответ: 24.
