Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{2^{\log_6 2}}{2^{\log_6 432}}.
Решение
Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
Выражение \displaystyle \frac{2^{\log_6 2}}{2^{\log_6 432}} можно упростить, применив свойство дроби со степенями с одинаковым основанием: \displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}. Поэтому наше выражение упрощается до \displaystyle 2^{\log_6 2 - \log_6 432}.
Используя свойство логарифмов, что \displaystyle \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right), упростим выражение в степени до \displaystyle 2^{\log_6 \left(\frac{2}{432}\right)}.
Теперь разделим 2 на 432:
\displaystyle \frac{2}{432} = \frac{1}{216}Итак, у нас есть \displaystyle 2^{\log_6 \left(\frac{1}{216}\right)}.
216 — это 6^3, поэтому \displaystyle \frac{1}{216} можно записать как 6^{-3}.
Тогда \displaystyle \log_6 \left(\frac{1}{216}\right) = \log_6 \left(6^{-3}\right).
По определению логарифма, \displaystyle \log_6 \left(6^{-3}\right) = -3.
Следовательно, наше выражение упрощается до 2^{-3}.
И 2^{-3} равно \displaystyle \frac{1}{2^3}, что равно \displaystyle \frac{1}{8}.
Таким образом, значение выражения равно \displaystyle \frac{1}{8}=0,125.
Ответ: 0,125.
