Задача. Решите уравнение \sqrt{9 - 8x} = -x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Для решения уравнения \sqrt{9 - 8x} = -x начнем с того, что квадратный корень по определению не может быть отрицательным. Это означает, что выражение -x должно быть неотрицательным, следовательно, x должен быть не больше нуля.
Следующий шаг — возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\displaystyle (\sqrt{9 - 8x})^2 = (-x)^2.Получаем:
9 - 8x = x^2.Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в привычном виде:
x^2 + 8x - 9 = 0.Решим квадратное уравнение через дискриминант D = b^2 - 4ac:
D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.Корень из дискриминанта равен:
\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10.Теперь найдем корни уравнения:
\displaystyle x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1, \\ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9.Из двух корней x_1 = 1 и x_2 = -9 выбираем больший корень x_1 = 1, однако мы должны учитывать исходное ограничение, что x должен быть не больше нуля. Корень x_1 = 1 не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственный подходящий корень — это x_2 = -9.
Ответ: -9.
