Найдите точку минимума функции y = (1 - 2x)cos x + 2sin x + 10, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Найдите точку минимума функции y = (1 — 2x)cos x + 2sin x + 10, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Задача. Найдите точку минимума функции $y = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + 10$ , принадлежащую промежутку $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ .

Решение

Чтобы найти точку минимума функции на заданном интервале, нужно:

Найти производную функции.
Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
Проверить знаки производной до и после критических точек, чтобы определить, является ли точка минимумом.

Итак, начнем с нахождения производной функции $\displaystyle y = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + 10$ :

\displaystyle y' = -2\cos x + (1 - 2x)(-\sin x) + 2\cos x

Упростим выражение:

\displaystyle y' = -2\cos x - \sin x + 2x\sin x + 2\cos x \\ y' = 2x\sin x - \sin x

Теперь найдем критические точки:

2x\sin x - \sin x = 0 \\ \sin x (2x - 1) = 0

Синус равен нулю при $x = 0$ и $x = \pi$ , но эти значения не принадлежат открытому интервалу $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ , поэтому нам нужно рассмотреть второй множитель:

\displaystyle 2x - 1 = 0 \\[5mm] x = \frac{1}{2}=0,5

Теперь проверим, является ли $x = 0,5$ точкой минимума. Для этого проверим знаки производной слева и справа от $x = 0,5$ . Мы можем сделать это, выбрав значения $x$ близкие к $0,5$ , например $\displaystyle x = \frac{1}{4}$ и $\displaystyle x = \frac{3}{4}$ , и подставить их в производную:

\displaystyle y'\left(\frac{1}{4}\right) = \sin {\frac{1}{4}} (2\cdot \frac{1}{4} - 1)<0 \\[5mm] y'\left(\frac{3}{4}\right) = \sin {\frac{3}{4}} (2\cdot \frac{3}{4} - 1)>0

Здесь $\sin{\frac{1}{4}}>0$ и $\sin{\frac{3}{4}}>0$ , так как от 0 до $\pi$ синус положителен. А $\pi$ — это 3,14.

Если производная изменяет знак с «-» на «+», то $x = 0,5$ является точкой минимума.

Производная отрицательна слева от $x =0,5$ и положительна справа, что означает, что в этой точке функция имеет максимум. Если это не так, то необходимо проверить поведение функции на концах интервала, так как минимум может находиться в одной из граничных точек.

Ответ: 0,5.