Даны векторы \vec{a}(4; -1) и \vec{b}(b_0; 8). Найдите b_0, если |\vec{b}|=2,5|\vec{a}|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение
Длина вектора \vec{a} определяется как |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} , где a_x и a_y — это компоненты вектора по осям Ox и Oy соответственно.
Вычислим длину вектора \vec{a} :
|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}Тогда 2,5|\vec{a}| = 2,5\sqrt{17}.
Находим длину вектора \vec{b}:
|\vec{b}| = \sqrt{b_0^2 + 8^2}Теперь используем условие |\vec{b}|=2,5|\vec{a}| для нахождения b_0:
Приравниваем длины векторов \vec{b} и 2,5|\vec{a}| :
\displaystyle \sqrt{b_0^2 + 64} = 2,5\sqrt{17}Возведем обе части уравнения в квадрат:
b_0^2 + 64 = 6,25 \cdot 17 \\ b_0^2 + 64 = 106,25Отсюда находим b_0^2:
b_0^2 = 106,25 - 64 \\ b_0^2 = 42,25Число b_0 может быть как положительным, так и отрицательным:
b_0 = \sqrt{42,25}= \sqrt{42+\frac{1}{4}}= \sqrt{\frac{42 \cdot 4+1}{4}}= \sqrt{\frac{168+1}{4}}= \sqrt{\frac{168+1}{4}}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\pm \frac{13}{2} \\[5mm] b_0 = \pm 6,5Поскольку в задаче требуется записать большее из значений b_0, ответ будет:
b_0 = 6,5Ответ: 6,5.
