Найдите наименьшее значение функции y=x^3+18x^2+81x+56 на отрезке [-7; 0]

Задание. Найдите наименьшее значение функции $y=x^3+18x^2+81x+56$ на отрезке [-7; 0].

Решение

Наименьшее значение функция будет иметь в точке минимума. Чтобы найти эту точку, надо взять производную функции и приравнять ее к нулю и найти критические точки из полученного уравнения:

y'=3x^2+36x+81

Приравниваем к нулю и решаем уравнение:

y'=0 \\ 3x^2+36x+81=0

Разделим на 3:

x^2+12x+27=0

Находим корни по теореме Виета:

\begin{cases} x_1+x_2=-12\\ x_1 \cdot x_2=27 \end{cases}

Получаем: $x_1=-3$ и $x_2=-9$ .

Интервалу подходят оба корня. Выясним в каком из них будет наблюдаться минимум функции. При переходе через эту точку производная должна менять знак с минуса на плюс. Производную можно записать в виде:

y'=(x-x_1)(x-x_2)=(x+3)(x+9)

Решим методом интервалов. Покажем на числовой оси корни $x_1$ и $x_2$ и определим знаки производной в интервалах, которые отсекают на числовой оси эти корни.

Получается, что точка $x=-3$ будет точкой минимума функции, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс. Так как функция убывает на интервале (-9; -3), то значение функции $y(-7)$ будет больше, чем $y(-3)$ . Затем функция возрастает на интервале (-3; 0], поэтому $y(-3)<y(0)$ .

Определяем значение функции только в точке $x=-3$ .

y(-3)=(-3)^3+18(-3)^2+81(-3)+56=-27+162-243+56=-52

Ответ: -52.