Задача. Даны векторы \vec{a}(x_a; -2) и \vec{b}(0; y_b), косинус угла между которыми равен -\sqrt{0,2}. Найдите x_a. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Чтобы найти значение x_a, мы воспользуемся определением косинуса угла между двумя векторами. Косинус угла между векторами \vec{a} и \vec{b} определяется как скалярное произведение этих векторов, деленное на произведение их модулей:
\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}В нашем случае:
\vec{a} = (x_a, -2), \quad \vec{b} = (0, y_b)Скалярное произведение \vec{a} и \vec{b}:
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot 0 + (-2) \cdot y_b = -2y_bМодуль вектора \vec{a}:
|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + (-2)^2} = \sqrt{x_a^2 + 4}Модуль вектора \vec{b}:
|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + y_b^2} = |y_b|Теперь подставим косинус угла между векторами, который равен -\sqrt{0,2}:
\displaystyle -\sqrt{0,2} = \frac{-2y_b}{\sqrt{x_a^2 + 4} \cdot |y_b|}Заметим, что y_b в числителе и знаменателе сокращаются (при условии, что y_b \neq 0, что подразумевается, так как иначе вектор \vec{b} был бы нулевым, и косинус угла между векторами не был бы определен). Отсюда получаем:
\displaystyle -\sqrt{0,2} = \frac{-2}{\sqrt{x_a^2 + 4}} \\[5mm] \sqrt{0,2} = \frac{2}{\sqrt{x_a^2 + 4}} \\[5mm] \sqrt{x_a^2 + 4} = \frac{2}{\sqrt{0,2}} \\[5mm] x_a^2 + 4 = \frac{4}{0,2} \\ x_a^2 + 4 = 20 \\ x_a^2 = 16 \\ x_a = \pm4Так как по условию задачи нужно выбрать меньшее значение x_a, ответ будет x_a = -4.
Ответ:-4.