В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины рёбер АВ и ВС.
б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.
Решение.
В правильной пирамиде SABC все ребра по 6, высота SO, MN — средняя линия треугольника АВС, так как по условию точки M и N соединяют середины ребер АВ и ВС основания пирамиды.
а) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S перпендикулярно MN. Соединим точку S с точкой D – серединой MN (D – точка пересечения средней линии MN с ВК — медианой и высотой равностороннего треугольника АВС).
Так как BD⟘MN, то и SD⟘MN по ТТП (SD – наклонная, проекция которой OD⟘MN). Отрезок MN перпендикулярен двум прямым BD и SD, следовательно, MN перпендикулярен плоскости SBD. Плоскость SBD имеет с плоскостью АВС общие точки В и D, следовательно пересечет плоскость АВС по прямой ВК. С гранью SAC плоскость сечения имеет так же две общие точки S и K и, следовательно, пересечет грань SAC по прямой SK.
∆SBK — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, перпендикулярно отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.
б) Центр грани SAB – это точка Е –пересечение медиан (высот и биссектрис) треугольника SAB. Плоскость SDM перпендикулярна плоскости SBK, так как BD⟘DM и SD⟘DM, поэтому, перпендикуляр EF, проведенный из точки Е к SD и будет расстоянием от центра грани SAB до плоскости сечения SBK.
В ∆SDM DM⟘SD и EF⟘SD, значит, EF || DM.
∆ SDM ∾ ∆ SFЕ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами.
Так как точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, то
Cредняя линия MN = AC : 2 = 6 : 2 = 3, тогда DM = MN : 2 = 3 : 2 = 1,5.
Получаем пропорцию:
