Задача. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \displaystyle U = U_0\sin(\omega t + \varphi), где t — время в секундах, амплитуда U_0 = 2 В, частота \omega = 120^\circ/c, фаза \varphi = 45^\circ. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Решение
Подставим значения в выражение U = U_0\sin(\omega t + \varphi). Получим:
U = 2 \sin(120^\circ/c \cdot t + 45^\circ)Так как U > 1, запишем:
2 \sin(120^\circ/c \cdot t + 45^\circ) > 1и тогда
\displaystyle \sin(120^\circ/c \cdot t + 45^\circ) > \frac{1}{2}Теперь нужно определить интервалы времени, на которых синус угла больше \frac{1}{2}. Известно, что синус угла больше \frac{1}{2}, если угол лежит в первом квадранте между 30^\circ и 90^\circ, или во втором квадранте между 90^\circ и 150^\circ.
Запишем это в виде неравенства для \omega t + \varphi:
30^\circ < 120^\circ/c \cdot t + 45^\circ < 150^\circРешим это двойное неравенство для t:
\displaystyle -15^\circ < 120^\circ/c \cdot t < 105^\circ \\[5mm] \frac{-15^\circ}{120^\circ/c} < t < \frac{105^\circ}{120^\circ/c} \\[5mm] -\frac{1}{8}c < t < \frac{7}{8}cТак как мы рассматриваем время в первую секунду и отрицательное время не имеет смысла, мы ограничим время снизу нулём:
\displaystyle 0 < t < \frac{7}{8}cТеперь найдём процент времени от первой секунды, когда лампочка будет гореть:
\displaystyle \frac{7}{8} \cdot 100% = 87,5%Ответ: 87,5%.
