На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.
а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С1.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение.
Итак, что мы имеем? Из прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с измерениями: AB=3, AD=4 и AA1=4 вырезали прямоугольный параллелепипед A2B2C2D2A3B3C3D3 с измерениями: A2B2=1, A2D2=2 и A2A3=4.
Затем, оставшийся многогранник пересекли плоскостью АВС1, которую мы должны построить и площадь которой требуется найти.
а) Так как плоскости оснований параллельны, то и линии пересечения этих оснований плоскостью сечения будут параллельны, т.е. C1D1 || AB.
Сечение большего параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 — это прямоугольник ABC1D1. Проведем диагонали AC1 и BD1 этого прямоугольника, которые будут пересекаться в точке О, они же являются и диагоналями большего прямоугольного параллелепипеда. Заметим, что точка О будет центром симметрии этого параллелепипеда. Так как AD=4, а A2D2=2, то точка О будет лежать в плоскости грани C2C3D3D2 меньшего параллелепипеда. Секущая плоскость пересечет эту грань по прямой, проходящей через точку О и эта прямая будет параллельна АВ. Проводим через точку О отрезок EF || AB.
Соединяем точки A2 и E, а также точки B2 и F.
A2E и B2F — это линии пересечения плоскости АВС1 с боковыми гранями меньшего параллелепипеда.
б) Таким образом, плоскость сечения данного многогранника — AD1C1BB2FEA2. Заметим, что точки E и F являются серединами боковых ребер меньшего параллелепипеда, и искомая площадь равна разности площадей большого прямоугольника ABC1D1 и малого прямоугольника A2B2FE.
Площадь большого прямоугольника ABC1D1 равна АВ ∙ АD1,
— гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника AA1D1.
Тогда площадь большого прямоугольника