Задача. В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 10, высота AH равна \sqrt{51}. Найдите косинус угла ACB.
Решение
Поскольку высота AH падает на продолжение стороны BC, мы имеем дело с тупоугольным треугольником ABC, где угол ACB тупой. Высота AH формирует прямоугольный треугольник AHC.
Для нахождения косинуса угла ACB нам нужно использовать длины сторон треугольника AHC. В прямоугольном треугольнике AHC катет AH равен \sqrt{51}, гипотенуза AC равна 10. Чтобы найти косинус угла ACB, нам нужно найти длину катета HC.
Используем теорему Пифагора для треугольника AHC:
AH^2 + HC^2 = AC^2 \\ (\sqrt{51})^2 + HC^2 = 10^2 \\ 51 + HC^2 = 100 \\ HC^2 = 100 - 51 \\ HC^2 = 49 \\ HC = 7Теперь, когда у нас есть длина HC, мы можем найти косинус угла ACB, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике AHC (учитывая, что угол ACB и угол ACH дополняют друг друга до 180 градусов, их косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку):
\displaystyle \cos{∠ACB} = -\cos{∠ACH} \\ \cos{∠ACB} = -\frac{HC}{AC} \\[5mm] \cos{∠ACB} = -\frac{7}{10}=-0,7Таким образом, косинус тупого угла ACB равен -0,7.
Ответ: -0,7.
