Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы

Задача. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$ , где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = -25 К/мин^2$ , $b = 300 К/мин$ . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1900 К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Решение

Для решения этой задачи нам необходимо определить время $t$ , при котором температура нагревательного элемента достигнет 1900 К. Исходное уравнение температуры по времени имеет вид:

T(t) = T_0 + bt + at^2

где:

$T_0$ — начальная температура, $T_0 = 1400$ К,
$a$ — коэффициент при $t^2$ и $a = -25 К/мин^2$ ,
$b$ — коэффициент при $t$ , $b = 300 К/мин$ .

Нам нужно найти $t$ такое, что $T(t) = 1900$ К. Подставим известные значения в уравнение:

1900 = 1400 + 300t - 25t^2

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

0 = -25t^2 + 300t + (1400 - 1900) \\ 0 = -25t^2 + 300t - 500

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $t$ :

0 = -25t^2 + 300t - 500

Сократим на -25 и получим:

t^2-12+20=0

По теореме Виета находим корни $t_1=2$ и $t_2=10$ .

Поскольку температура нагревательного элемента не должна превышать 1900 К, нам необходимо выбрать максимальное значение времени до достижения этой температуры, следовательно, нам нужно отключить прибор через 2 минут после начала работы, потому что уже через 2 минуты прибор может испортится.

Ответ: 2.