Найдите корень уравнения 9^(2x+5) = 3,24

Найдите корень уравнения 9^(2x+5) = 3,24 · 5^(2x+5).

Задание. Найдите корень уравнения $\displaystyle 9^{2x+5} = 3,24 \cdot 5^{2x+5}$ .

Решение

Число 3,24 можно представить как:

\displaystyle 3,24 = \frac{324}{100} = \frac{81}{25} = \frac{9^2}{5^2}

Теперь подставим это в уравнение:

\displaystyle 9^{2x+5} = \frac{9^2}{5^2} \cdot 5^{2x+5}

Разделим обе части уравнения на $9^2$ :

\displaystyle \frac{9^{2x+5}}{9^2} = \frac{5^{2x+5}}{5^2}

Упростим:

9^{2x+3} = 5^{2x+3}

Поскольку основания степеней различны и оба положительны и не равны 1, единственный способ, которым эти две степени могут быть равны, — это если показатель степени равен нулю. Таким образом, уравнение сводится к:

\displaystyle 2x + 3 = 0 \\ 2x = -3 \\ x = -\frac{3}{2}=-1,5

Ответ: -1,5.