Задача. Расстояние между пристанями А и В равно 144 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и вернулась в А. К этому времени плот прошёл 18 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Известно, что плот движется со скоростью течения реки, равной 1 км/ч, и за время пути лодки прошёл 18 км. Таким образом, плот провел в пути 18 часов, поскольку скорость плота равна скорости течения реки.
Лодка отправляется в путь через час после плота, значит, она была в пути 17 часов.
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как x км/ч. Тогда её скорость по течению реки будет x + 1 км/ч, а против течения — x - 1км/ч.
Лодка проплыла до пункта В и поплыла обратно, то есть сначала 144 км по течению, затем 144 км против течения.
Время пути лодки по течению реки составляет \displaystyle \frac{144}{x+1} часов, а время пути против течения — \displaystyle \frac{144}{x-1}часов. В сумме это время составляет 17 часов:
\displaystyle \frac{144}{x+1} + \frac{144}{x-1} = 17Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю и решив его, получим квадратное уравнение относительно x :
\displaystyle 144(x-1) + 144(x+1) = 17(x^2-1) \\ 144x - 144 + 144x + 144 = 17x^2 - 17 \\ 288x - 17x^2 + 17 = 0 \\ 17x^2 - 288x + 17 = 0Находим дискриминант
D = b^2 - 4ac, где a = 17, b = -288 и c = 17.Тогда D = (-288)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 17=84100=290^2
Далее найдем корни уравнения по формулам:
\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}Найдем значения x_{1} и x_{2}:
\displaystyle x_1 = \frac{288 + 290}{2 \cdot 17}=17 \\[5mm] x_2 = \frac{288 - 290}{2 \cdot 17}=-\frac{1}{17}Выбираем то, которое больше нуля, так как скорость лодки не может быть отрицательной.
Скорость лодки в неподвижной воде составляет 17 км/ч.
Ответ: 17.
