Задача. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне T_п = 15 \, ^\circ C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,5 \, кг/с . Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры T_в = 79 \, ^\circ C до температуры T, причём \displaystyle x = \alpha \cdot \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_в - T_п}{T - T_п}, где \displaystyle c = 4200 \, \frac{Вт \cdot с}{кг \cdot ^\circ C} — теплоёмкость воды, \displaystyle \gamma = 63 \, \frac{Вт}{м \cdot ^\circ C} — коэффициент теплообмена, а \alpha = 1,3 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охлаждается вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Решение
Дано уравнение, связывающее расстояние x , которое проходит вода в радиаторе, с изменением её температуры от начальной до конечной:
\displaystyle x = \alpha \cdot \frac{cm}{\gamma} \cdot \log_2 \frac{T_в - T_п}{T - T_п}Нам необходимо найти температуру T , до которой охлаждается вода, при условии, что длина трубы радиатора x равна 130 метрам. Подставим известные значения в уравнение:
\displaystyle 130 = 1,3 \cdot \frac{4200 \cdot 0,5}{63} \cdot \log_2 \frac{79 - 15}{T - 15}Упростим уравнение:
\displaystyle 130 = 1,3 \cdot \frac{2100}{63} \cdot \log_2 \frac{64}{T - 15} \\ 100 = \frac{2100}{63} \cdot \log_2 \frac{64}{T - 15} \\ 6300=2100 \cdot \log_2 \frac{64}{T - 15}Упростим выражение:
\displaystyle \log_2 \frac{64}{T - 15} = 3Используем свойства логарифмов, чтобы выразить T:
\displaystyle \frac{64}{T - 15} = 2^3 \\[5mm] \frac{64}{T - 15} = 8 \\[5mm] 64 = 8(T - 15) \\[5mm] 64 = 8T - 120 \\[5mm] 8T = 64 + 120 \\[5mm] 8T = 184 \\[5mm] T = \frac{184}{8} \\ T = 23Таким образом, вода охлаждается до температуры 23 \, ^\circ C, проходя по трубе радиатора длиной 130 метров.
Ответ: 23.
