Задача. Материальная точка движется прямолинейно по закону \displaystyle x(t) = -\frac{1}{2}t^4 + 4t^3 - t^2 - t + 14, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 с.
Решение
Чтобы найти скорость материальной точки в момент времени t = 5 секунд, нужно взять производную функции расстояния по времени, так как производная дает скорость изменения функции. Функция расстояния задана как:
\displaystyle x(t) = -\frac{1}{2}t^4 + 4t^3 - t^2 - t + 14Производная этой функции по времени t будет равна скорости v(t):
\displaystyle v(t) = x'(t) = \left(-\frac{1}{2}t^4 + 4t^3 - t^2 - t + 14\right)'Возьмем производную от каждого члена функции:
\displaystyle v(t) = \left(-\frac{1}{2}t^4\right)' + (4t^3)' - (t^2)' - (t)' + (14)'Применим правила дифференцирования (производная от t^n равна n \cdot t^{n-1}, производная от константы равна 0):
\displaystyle v(t) = -4 \cdot \frac{1}{2}t^{4-1} + 3 \cdot 4t^{3-1} - 2 \cdot t^{2-1} - 1 + 0 = -2t^3 + 12t^2 - 2t - 1Теперь подставим t = 5 секунд в выражение для v(t):
v(5) = -2 \cdot 5^3 + 12 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5 - 1 = -2 \cdot 125 + 12 \cdot 25 - 10 - 1 = -250 + 300 - 10 - 1= 50 - 10 - 1 = 40 - 1 = 39Таким образом, скорость материальной точки в момент времени t = 5 секунд равна 39 м/с.
Ответ: 39.
