Задача. Найдите значение выражения \displaystyle 2^{4\sqrt{10}- 3} \cdot 2^{1 - 3\sqrt{10}} : 2^{\sqrt{10} - 1}.
Решение
Чтобы найти значение выражения \displaystyle 2^{4\sqrt{10}- 3} \cdot 2^{1 - 3\sqrt{10}} : 2^{\sqrt{10} - 1}, воспользуемся свойствами степеней. Вспомним основные из них:
\displaystyle a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \\ a^{m} : a^{n} = a^{m-n} \\ (a^{m})^{n} = a^{mn}Теперь применим эти свойства к нашему выражению:
Сначала рассмотрим умножение степеней с одинаковыми основаниями:
\displaystyle 2^{4\sqrt{10}- 3} \cdot 2^{1 - 3\sqrt{10}} = 2^{(4\sqrt{10}- 3) + (1 - 3\sqrt{10})} = 2^{4\sqrt{10}- 3 + 1 - 3\sqrt{10}}Упростим показатель степени:
\displaystyle 2^{4\sqrt{10}- 3\sqrt{10} - 3 + 1} = 2^{\sqrt{10} - 2}Теперь разделим полученный результат на 2^{\sqrt{10} - 1} используя свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:
\displaystyle 2^{\sqrt{10} - 2} : 2^{\sqrt{10} - 1} = 2^{(\sqrt{10} - 2) - (\sqrt{10} - 1)} = 2^{-1}И, наконец, значение 2^{-1} равно:
\displaystyle 2^{-1} = \frac{1}{2}Таким образом, значение выражения равно \displaystyle \frac{1}{2} или 0,5.
Ответ: 0,5.
