Задача. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле \displaystyle A(\omega) = \frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}, где \omega — частота вынуждающей силы (в c^{-1}), A_0 — постоянный параметр, \omega_p = 345 c^{-1} — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более чем на 12,5 %. Ответ дайте в c^{-1}.
Решение
Чтобы найти максимальную частоту \omega, при которой амплитуда колебаний A(\omega) превосходит величину A_0 не более чем на 12,5%, сначала выразим это условие через амплитуду:
A(\omega) \leq A_0 + 0,125A_0 \\ A(\omega) \leq 1,125A_0Теперь подставим выражение для амплитуды A(\omega) из условия задачи:
\displaystyle \frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1,125A_0На A_0 сокращаем:
\displaystyle \frac{\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1,125Теперь умножим обе части на знаменатель и разделим на 1,125:
\displaystyle |\omega_p^2 - \omega^2| \geq \frac{\omega_p^2}{1,125}Так как мы ищем максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, работаем с положительным корнем:
\displaystyle \omega_p^2 - \omega^2 \geq \frac{\omega_p^2}{1,125}Теперь подставим значение резонансной частоты \omega_p = 345 c^{-1}:
\displaystyle 345^2 - \omega^2 \geq \frac{345^2}{1,125} \\[5mm] \omega^2 \leq 345^2 - \frac{345^2}{1,125}Вычтем из квадрата резонансной частоты квадрат резонансной частоты, деленный на 1,125:
\displaystyle \omega^2 \leq 345^2(1 - \frac{1}{1,125}) \\[5mm] \omega^2 \leq 345^2 \cdot \frac{0,125}{1,125} \\[5mm] \omega^2 \leq 345^2 \cdot \frac{1}{9} \\[5mm] \omega^2 \leq (345 \cdot \frac{1}{3})^2 \\[5mm] \omega \leq 345 \cdot \frac{1}{3} \\[5mm] \omega \leq 115Таким образом, максимальная частота \omega, при которой амплитуда колебаний превосходит A_0 не более чем на 12,5%, равна 115 c^{-1}.
Ответ: 115.
