Задача. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне T_{п} = 20 \, ^\circ C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,5 \, кг/c . Проходя по трубе расстояние x , вода охлаждается от начальной температуры T_{в} = 72 \, ^\circ C до температуры T, причем \displaystyle x = \alpha \cdot \frac{c \cdot m}{\gamma} \cdot \log_2 \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}}, где \displaystyle c = 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C} — теплоемкость воды, \displaystyle \gamma = 63 \, \frac{Вт}{м \cdot ^\circ C} — коэффициент теплообмена, а \displaystyle \alpha = 1,5 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 100 м.
Решение
Для решения задачи используем данное уравнение:
\displaystyle x = \alpha \cdot \frac{c \cdot m}{\gamma} \cdot \log_2 \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}}Задано, что длина трубы равна x = 100 м, также известны следующие значения:
- \alpha = 1,5
- c = 4200 Дж/(кг·°C)
- m = 0,5 кг/с
- \gamma = 63 Вт/(м·°C)
- T_{п} = 20 °C
- T_{в} = 72 °C
Подставим известные значения в уравнение:
\displaystyle 100 = 1,5 \cdot \frac{4200 \cdot 0,5}{63} \cdot \log_2 \frac{72 - 20}{T - 20}Сначала упростим выражение перед логарифмом:
\displaystyle 1,5 \frac{4200 \cdot 0,5}{63} = \frac{3150}{63}=50Теперь уравнение принимает вид:
\displaystyle 100 = 50 \cdot \log_2 \frac{52}{T - 20}Разделим обе части на 50:
\displaystyle 2 = \log_2 \frac{52}{T - 20}Применим определение логарифма:
\displaystyle 2^2 = \frac{52}{T - 20} \\ 4 = \frac{52}{T - 20}Теперь найдём T:
\displaystyle T - 20 = \frac{52}{4} \\ T - 20 = 13 \\ T = 33Итак, температура воды после прохождения через трубу длиной 100 м будет 33 °C.
Ответ: 33.
