Задача. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 20.
Решение
В параллелограмме противоположные стороны равны, а биссектриса угла делит смежную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.
Пусть BK = 11, CK = 20. Так как BK и CK являются отрезками, на которые биссектриса делит сторону BC, и BC = BK + CK, то BC = 11 + 20 = 31.
Таким образом, сторона BC параллелограмма ABCD равна 31. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, AD = BC = 31.
Теперь рассмотрим стороны AB и CD. Поскольку биссектриса делит угол A пополам и пересекает сторону BC, то она является секущей двух параллельных сторон AD и CB. А углы ∠AKB и ∠KAD равны как накрест лежащие, и также ∠KAD=∠KAB (так как AK — биссектриса). Тогда треугольник AKB равнобедренный, поскольку у него углы при основании AK равны. Так как треугольник равнобедренный, то его стороны равны AB=BK=11.
Таким образом, стороны AB и CD также равны 11.
Периметр параллелограмма будет равен сумме всех его сторон:
P = 2 ⋅ (AB + BC)= 2 ⋅ (11 + 31) = 2 ⋅ 42 = 84
Периметр параллелограмма ABCD равен 84.
Ответ: 84.
