Найдите корень уравнения log9 3^(2x+9)=2

Задача. Найдите корень уравнения $\displaystyle \log_9{3^{2x+9}} = 2$ .

Решение

Для решения уравнения $\log_9{3^{2x+9}} = 2$ , используем свойства логарифмов и степеней.

Сначала преобразуем основание логарифма 9 к степени числа 3, так как 9 это $3^2$ :

\log_{3^2}{3^{2x+9}} = 2

Затем, используя свойство логарифма $\displaystyle \log_{a^n}{b} = \frac{1}{n}\log_{a}{b}$ , упростим уравнение:

\displaystyle \frac{1}{2} \log_{3}{3^{2x+9}} = 2

Теперь упростим уравнение, применив свойство $\log_{a}{a^x} = x$ :

\displaystyle \frac{1}{2} (2x+9) = 2

Умножим обе стороны на 2:

2x+9 = 4

Теперь вычтем 9 из обеих сторон уравнения:

2x = 4 - 9 \\ 2x = -5

Разделим обе стороны на 2:

\displaystyle x = -\frac{5}{2}=-2,5

Таким образом, корень уравнения $\displaystyle x = -2,5$ .

Ответ: -2,5.