Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0 имеет ровно два решения.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:
((а-1)х2 + 3х-1)2-а2 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:
((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.
1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1-a) = 9 + 4 ∙ (a-1) ∙ (1 + a) = 9 + 4 ∙ (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.
2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1 + a) = 9 + 4 ∙ (a-1)2 = 9-4 ∙ (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:
-4а2 + 8а + 5 < 0 → 4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим
D1 = — ac = 42— 4 ∙ (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.
Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1) (a2; +∞ ), т.е. при
а ∈ (-∞ ; -0,5) (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.
Ответ: а∈ (- ∞; -0,5) (2,5; +∞ ).
