Найдите корень уравнения 2^(log16(5x+4))=5

Найдите корень уравнения $\displaystyle 2^{log_{16}(5x+4)}=5$ .

Решение

16 равно числу 2, возведенному в четвертую степень.

\displaystyle 2^{\log_{2^4}(5x+4)}=5

Применим свойство логарифмов, которое позволяет вынести степень из основания логарифма:

\displaystyle \log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}\log_a{b}

Это дает нам:

\displaystyle 2^{\frac{1}{4}\log_{2}(5x+4)}=5

Затем применим другое свойство логарифмов, чтобы возвести логарифм в степень:

\displaystyle m \log_a{b}=\log_a{b^m}

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\displaystyle 2^{\log_{2}(5x+4)^{\frac{1}{4}}}=5

Следуя базовому свойству логарифмов $\displaystyle a^{\log_a{b}}=b$ , мы получаем:

\displaystyle (5x+4)^{\frac{1}{4}}=5

Теперь перед нами кубическое уравнение. Для его решения возведем обе стороны уравнения в четвертую степень и получим линейное уравнение:

\displaystyle ((5x+4)^{\frac{1}{4}})^4=5^4 \\ 5x+4=625 \\ 5x=621 \\ x=124,2

Ответ: 124,2.

В принципе можно сразу возвести левую и правую части уравнения в четвертую степень. Чтобы получить в левой части $\displaystyle 16^{log_{16}(5x+4)}$ , в правой сразу получится 625.

Далее используем основное логарифмическое тождество. И получаем линейное уравнение: $5x+4=625$ .