Задача. Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение
Дано два сосуда с растворами кислоты разной концентрации. Первый сосуд содержит 60 кг раствора, второй — 20 кг. Обозначим концентрацию кислоты в первом сосуде через x, а во втором сосуде как y. При смешивании всего содержимого обоих сосудов получается раствор с концентрацией кислоты 76%:
x \cdot 60+y \cdot 20=0,76(20+60)Если же смешать равные массы (m) растворов, то концентрация кислоты в растворе будет 82%:
x \cdot m +y \cdot m=0,82(m+m)Тогда можно составить следующую систему уравнений, основываясь на условиях задачи:
\begin{cases} 60x + 20y = 0,76 \cdot 80 \\ x + y = 0,82 \cdot 2 \end{cases}Первое уравнение выражает общее количество кислоты в смешанном растворе, полученном из обоих сосудов. Второе уравнение устанавливает, что сумма концентраций кислоты в равных массах растворов равна 82%.
Решим эту систему уравнений:
\begin{cases} 60x + 20y = 60,8 \\ x + y = 1,64 \end{cases}Выразим y из второго уравнения:
y = 1,64 - xПодставим y в первое уравнение:
60x + 20(1,64 - x) = 60,8Раскроем скобки и упростим уравнение:
60x + 32,8 - 20x = 60,8 \\ 40x = 60,8 - 32,8 \\ 40x = 28Теперь найдем x:
\displaystyle x = \frac{28}{40} \\ x = 0,7Теперь подставим x обратно в выражение для y:
y = 1,64 - 0,7 \\ y = 0,94Таким образом, концентрация кислоты в первом сосуде составляет 70%, а во втором — 94%.
Чтобы найти массу кислоты в первом сосуде, умножаем концентрацию на общую массу раствора:
\text{Масса кислоты в первом сосуде} = 60 \cdot 0,7 = 42 \text{ кг}Итак, в первом сосуде содержится 42 кг кислоты.
Ответ: 42.
