Найдите корень уравнение (1/4)^(x+2)=256^x

Задание. Найдите корень уравнения $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} = 256^x$ .

Решение

Чтобы решить уравнение $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} = 256^x$ , давайте приведем обе части уравнения к степеням с одинаковым основанием.

Сначала представим число 256 в виде степени числа 4, так как $4^4 = 256$ :

\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} = (4^4)^x \\[5mm] \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} = 4^{4x}

Теперь мы можем переписать левую часть уравнения, используя свойства степеней:

\left(4^{-1}\right)^{x+2} = 4^{4x}

Применим свойство степени степени, умножив показатели степеней в левой части:

4^{-x-2} = 4^{4x}

Теперь, когда основания степеней в обеих частях уравнения равны, можно приравнять их показатели:

-x - 2 = 4x \\  -2 = 5x

Теперь разделим обе стороны на 5:

\displaystyle x = -\frac{2}{5}=-0,4

Ответ:-0,4.