На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих.

Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета. ЕГЭ

Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Решение

Итак, с одной полки мы берем блюдца, а с другой полки мы берем чашки. Нам надо составить две чайные пары одного цвета.

То есть

  1. Красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка.
    Красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка
  2. Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка.
    Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка
  3. Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка.
    кккк
  4. Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.
    Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.
  5. Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка.
    Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка.
  6. Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.
    Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.

Каким образом, мы можем получить две чайные пары одного цвета?

  1. Найдем вероятность первого события «красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка». Мы берем красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{9}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_1=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}
  2. Найдем вероятность второго события «Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{16}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{13}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_2=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}.
  3. Найдем вероятность третьего события «Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{15}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_3=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}.
  4. Определяем вероятность четвертого события «Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.». Достаем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), далее синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{8}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{11}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_4=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}.
  5. Находим вероятность пятого события «Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка». Достаем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{16}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_5=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}.
  6. Найдем вероятность шестого события «Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.». Берём красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), теперь синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{9}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{13}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_6=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}.

Теперь определим общую вероятность события «две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета»:

\displaystyle P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}+ \\[5mm] + \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}+ \\[5mm] + \frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}.

Заметим, что произведения P_1, \; P_2, \; P_5, \; P_6 дадут одинаковый результат, тогда мы можем переписать общую вероятность в виде:

\displaystyle P=4 \cdot \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}.

Вычисляем:

\displaystyle P=4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{3}{16}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{5}{16}+\frac{9}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{11}{72}= \\[5mm] =4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{39}{400}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{80}+\frac{9}{25}\cdot \frac{11}{150}=4\cdot \frac{39}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\\[5mm] =\frac{156}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\frac{221}{625}+\frac{33}{1250}=\frac{19}{50}=0,38.

Ответ: 0,38

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии