На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих.

Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Решение

Итак, с одной полки мы берем блюдца, а с другой полки мы берем чашки. Нам надо составить две чайные пары одного цвета.

То есть

Красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка.
Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка.
Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка.
Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.
Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка.
Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.

Каким образом, мы можем получить две чайные пары одного цвета?

Найдем вероятность первого события «красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка». Мы берем красное блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{16}{25}$ ), затем красную чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{13}{25}$ ), далее синее блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{9}{24}$ ) и синюю чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{12}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_1=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}$
Найдем вероятность второго события «Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем синее блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{9}{25}$ ), затем синюю чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{12}{25}$ ), далее красное блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{16}{24}$ ) и красную чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{13}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_2=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}$ .
Найдем вероятность третьего события «Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем красное блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{16}{25}$ ), затем красную чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{13}{25}$ ), далее красное блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{15}{24}$ ) и красную чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{12}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_3=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}$ .
Определяем вероятность четвертого события «Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.». Достаем синее блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{9}{25}$ ), затем синюю чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{12}{25}$ ), далее синее блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{8}{24}$ ) и синюю чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{11}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_4=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}$ .
Находим вероятность пятого события «Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка». Достаем синее блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{9}{25}$ ), затем красную чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{13}{25}$ ), далее красное блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{16}{24}$ ) и синюю чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{12}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_5=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}$ .
Найдем вероятность шестого события «Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.». Берём красное блюдце ( $\displaystyle p_1=\frac{16}{25}$ ), затем синюю чашку ( $\displaystyle p_2=\frac{12}{25}$ ), теперь синее блюдце ( $\displaystyle p_3=\frac{9}{24}$ ) и красную чашку ( $\displaystyle p_4=\frac{13}{24}$ ).Вероятность этого события будет $\displaystyle P_6=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}$ .

Теперь определим общую вероятность события «две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета»:

\displaystyle P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}+ \\[5mm] + \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}+ \\[5mm] + \frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}

Заметим, что произведения $P_1, \; P_2, \; P_5, \; P_6$ дадут одинаковый результат, тогда мы можем переписать общую вероятность в виде:

\displaystyle P=4 \cdot \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}

Вычисляем:

\displaystyle P=4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{3}{16}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{5}{16}+\frac{9}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{11}{72}= \\[5mm] =4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{39}{400}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{80}+\frac{9}{25}\cdot \frac{11}{150}=4\cdot \frac{39}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\\[5mm] =\frac{156}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\frac{221}{625}+\frac{33}{1250}=\frac{19}{50}=0,38

Ответ: 0,38

8 комментариев

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

feyzalga

1 год назад

It actually looks quite complicated. But thanks to your wonderful explanation, I understood. Thanks

Ответить

вася

На самом деле это выглядит довольно сложно. Но благодаря вашему замечательному объяснению я понял. Спасибо

Николай

11 месяцев назад

Для того чтобы составить две чайные пары одного цвета, нужно выбрать 2 красных блюдца из 16 и 2 красные чашки из 13, или выбрать 2 синих блюдца из 9 и 2 синие чашки из 12.
Таким образом, общее количество благоприятных исходов будет равно:
С(16,2) C(13,2) + C(9,2) C(12,2) = 120 78 + 36 66 = 9360
Общее количество возможных исходов при выборе 4 предметов из 50 равно: C(50,4) = 230300
Искомая вероятность равна: 9360 / 230300 ≈ 0.0407, или около 4.07%.
Таким образом, вероятность того, что можно будет составить две чайные пары одного цвета, составит около 4.07%