На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих.

Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета. ЕГЭ

Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Решение

Итак, с одной полки мы берем блюдца, а с другой полки мы берем чашки. Нам надо составить две чайные пары одного цвета.

То есть

  1. Красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка.
    Красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка
  2. Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка.
    Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка
  3. Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка.
    кккк
  4. Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.
    Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.
  5. Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка.
    Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка.
  6. Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.
    Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.

Каким образом, мы можем получить две чайные пары одного цвета?

  1. Найдем вероятность первого события «красное блюдце и красная чашка и синее блюдце и синяя чашка». Мы берем красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{9}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_1=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}
  2. Найдем вероятность второго события «Синее блюдце и синяя чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{16}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{13}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_2=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}.
  3. Найдем вероятность третьего события «Красное блюдце и красная чашка и красное блюдце и красная чашка». Мы берем красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{15}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_3=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}.
  4. Определяем вероятность четвертого события «Синее блюдце и синяя чашка и синее блюдце и синяя чашка.». Достаем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), далее синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{8}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{11}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_4=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}.
  5. Находим вероятность пятого события «Синее блюдце и красная чашка и красное блюдце и синяя чашка». Достаем синее блюдце (\displaystyle p_1=\frac{9}{25}), затем красную чашку (\displaystyle p_2=\frac{13}{25}), далее красное блюдце (\displaystyle p_3=\frac{16}{24}) и синюю чашку (\displaystyle p_4=\frac{12}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_5=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}.
  6. Найдем вероятность шестого события «Красное блюдце и синяя чашка и синее блюдце и красная чашка.». Берём красное блюдце (\displaystyle p_1=\frac{16}{25}), затем синюю чашку (\displaystyle p_2=\frac{12}{25}), теперь синее блюдце (\displaystyle p_3=\frac{9}{24}) и красную чашку (\displaystyle p_4=\frac{13}{24}).Вероятность этого события будет \displaystyle P_6=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4=\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}.

Теперь определим общую вероятность события «две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета»:

\displaystyle P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=\frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{13}{24}+ \\[5mm] + \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}+ \\[5mm] + \frac{9}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{24}+\frac{16}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{24}.

Заметим, что произведения P_1, \; P_2, \; P_5, \; P_6 дадут одинаковый результат, тогда мы можем переписать общую вероятность в виде:

\displaystyle P=4 \cdot \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{9}{25} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{11}{24}.

Вычисляем:

\displaystyle P=4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{3}{16}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{25}\cdot \frac{5}{16}+\frac{9}{25}\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{11}{72}= \\[5mm] =4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{39}{400}+\frac{16}{25}\cdot \frac{13}{80}+\frac{9}{25}\cdot \frac{11}{150}=4\cdot \frac{39}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\\[5mm] =\frac{156}{625}+\frac{13}{125}+\frac{33}{1250}=\frac{221}{625}+\frac{33}{1250}=\frac{19}{50}=0,38.

Ответ: 0,38

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
7 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
feyzalga
feyzalga
29 дней назад

It actually looks quite complicated. But thanks to your wonderful explanation, I understood. Thanks

вася
вася
26 дней назад

На самом деле это выглядит довольно сложно. Но благодаря вашему замечательному объяснению я понял. Спасибо

Николай
Николай
20 дней назад

Для того чтобы составить две чайные пары одного цвета, нужно выбрать 2 красных блюдца из 16 и 2 красные чашки из 13, или выбрать 2 синих блюдца из 9 и 2 синие чашки из 12. 
Таким образом, общее количество благоприятных исходов будет равно: 
С(16,2) C(13,2) + C(9,2) C(12,2) = 120 78 + 36 66 = 9360
Общее количество возможных исходов при выборе 4 предметов из 50 равно: C(50,4) = 230300
Искомая вероятность равна: 9360 / 230300 ≈ 0.0407, или около 4.07%.
Таким образом, вероятность того, что можно будет составить две чайные пары одного цвета, составит около 4.07%

Сергей
Сергей
18 дней назад

вот такие вот задачи ,весьма не плохо мотивируют

Kam
Kam
10 дней назад

На самом деле, это кажется сложным, но ваше объяснение облегчило задачу. Отлично, продолжайте в том же духе.

Виталий
Виталий
10 дней назад

Очень хорошая работа, желаю вам всего наилучшего

sdgfhgj
sdgfhgj
6 дней назад

интересное решение. задумаешься даже