Задача. На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?
Решение
Пусть второй рабочий изготавливает x деталей в час. Тогда первый рабочий изготавливает x + 3 деталей в час.
Если первый рабочий изготовил 40 деталей, время, затраченное им на это, составило \displaystyle \frac{40}{x + 3} часов.
Второй рабочий изготовил 70 деталей, что заняло у него \displaystyle \frac{70}{x} часов.
Из условия задачи известно, что первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 деталей:
\displaystyle \frac{70}{x} - \frac{40}{x + 3} = 6Для того чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель:
\displaystyle \frac{70(x + 3) - 40x}{x(x + 3)} = 6Раскроем скобки и упростим уравнение:
70x + 210 - 40x = 6x^2 + 18xПриведем подобные слагаемые:
6x^2 + 18x - 70x + 40x - 210 = 0 \\[5mm] 6x^2 - 12x - 210 = 0Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 6:
x^2 - 2x - 35 = 0Решим квадратное уравнение:
x^2 - 7x + 5x - 35 = 0 \\[5mm] (x - 7)(x + 5) = 0Отсюда получаем два корня:
x_1 = 7 \\[5mm] x_2 = -5Так как количество деталей в час не может быть отрицательным, мы берем только положительный корень.
Таким образом, второй рабочий делает 7 деталей в час.
Ответ: 7.
