Решите уравнение 1/(x-2)^2-1/(x-2)-6=0

Задача. Решите уравнение $\displaystyle \frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{1}{x -2} - 6 = 0$ .

Решение

ОДЗ $x \neq 2$ так как в знаменателе $x-2$ , а на ноль делить нельзя.

Уравнение $\displaystyle \frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$ можно решить следующим образом:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю $(x - 2)^2$ :

\displaystyle \frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{x - 2}{(x - 2)^2} - \frac{6(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 0

2. Упростим выражение, сложив все дроби:

\displaystyle \frac{1 - (x - 2) - 6(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 0

3. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, решением уравнения будет решение числителя, равного нулю:

1 - (x - 2) - 6(x^2 - 4x + 4) = 0

4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

1 - x + 2 - 6x^2 + 24x - 24 = 0 \\ -6x^2 + 23x - 21 = 0

5. Решим получившееся квадратное уравнение:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{23 \pm \sqrt{23^2 - 4 \cdot 6 \cdot 21}}{2 \cdot 6}

После расчетов получаем два корня:

\displaystyle x_1 = \frac{-23 + \sqrt{25}}{-12}=\frac{-23 + 5}{-12}=\frac{-18}{-12}=\frac{3}{2}=1,5 \\[7mm] x_2 = \frac{-23 - \sqrt{25}}{-12}=\frac{-23 - 5}{-12}=\frac{-28}{-12}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}

Таким образом, у уравнения $\displaystyle \frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$ два решения: $x_1 = 1,5$ и $\displaystyle x_2 = 2\frac{1}{3}$ .

Ответ: $x_1 = 1,5$ и $\displaystyle x_2 = 2\frac{1}{3}$ .