Задача. На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}).
Решение
Чтобы найти скалярное произведение векторов \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}), сначала нужно определить координаты векторов \vec{a}, \vec{b}, и \vec{c} по данным координатам их начала и конца.
По картинке определим координаты начала и конца трех векторов:
- вектор \vec{a}: (-3; 6), (5; 1),
- вектор \vec{b}: (1; 5), (-6; 2),
- вектор \vec{c}: (3; -4), (-6; -4).
Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора.
Для вектора \vec{a}:
\vec{a} = (5 - (-3); 1 - 6) = (5 + 3; 1 - 6) = (8; -5)Для вектора \vec{b}:
\vec{b} = (-6 - 1; 2 - 5) = (-7; -3)Для вектора \vec{c}:
\vec{c} = (-6 - 3; -4 - (-4)) = (-9; 0)Теперь найдем координаты вектора \vec{b} - \vec{c}:
\vec{b} - \vec{c} = (-7 - (-9); -3 - 0) = (-7 + 9; -3) = (2; -3)Теперь, чтобы найти скалярное произведение вектора \vec{a} и вектора \vec{b} - \vec{c}, умножим их координаты и сложим результаты:
\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = (8; -5) \cdot (2; -3) = 8 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 16 + 15 = 31Таким образом, скалярное произведение вектора \vec{a} и разности векторов \vec{b} и \vec{c} равно 31.
Ответ: 31.
