На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите cosα, где α — угол между векторами a и b.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите cosα, где α — угол между векторами a и b. ЕГЭ

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдите \cos \alpha, где \alpha— угол между векторами \vec{a} и \vec{b}.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите cosα, где α — угол между векторами a и b.
На координатной плоскости изображены векторы a и b

Решение

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используем скалярное произведение векторов и их длины. Скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} определяется как \vec{a} \cdot \vec{b} = |a| \cdot |b| \cdot \cos {\alpha}, где \alpha— угол между векторами.

Запишем координаты точек начала и конца векторов \vec{a} и \vec{b}.

Вектор \vec{a}: (-1; -4) и (-4; 2).

Вектор \vec{b}:  (-3; 5) и (5; 1).

Координаты векторов находим как разности координат конца и начала:

\vec{a} = (-4, 2) - (-1, -4) = (-3, 6) \\ \vec{b} = (5, 1) - (-3, 5) = (8, -4)

Теперь найдем их скалярное произведение:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 8 + 6 \cdot (-4) = -24 - 24 = -48

Длины векторов равны:

|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \\ |\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}

Теперь можем найти косинус угла:

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-48}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{80}} = \\[5mm] \frac{-48}{\sqrt{45 \cdot 80}}=\frac{-48}{\sqrt{9 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 10}}= \frac{-48}{\sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4}}= \frac{-48}{3 \cdot 5 \cdot 2^2}=\frac{-8}{10}=-0,8

Ответ: -0,8

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
4 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Валерий
Валерий
1 месяц назад

Для тех, кому математика — мать родная. решение задачи на векторы покажется интересным пособием… Для меня же — темный лес…

Федя
Федя
1 месяц назад

Мде, не простая задача! Мне её не решить

Руслан
Руслан
25 дней назад

У меня по математике троечки, что тут за формулы?

Сергей
Сергей
3 часов назад

Да интересно но для меня темный лес не силен я в математике