Прямая y = 5x + 11 является касательной к графику функции y = x^3 + 4x^2 + 9x + 11. Найдите абсциссу точки касания.

Задача. Прямая $y = 5x + 11$ является касательной к графику функции $y = x^3 + 4x^2 + 9x + 11$ . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Приравняем правые части уравнений:

5x + 11=x^3 + 4x^2 + 9x + 11 \\ x^3+4x^2+4x=0 \\ x(x^2+4x+4)=0 \\ x(x+2)^2=0 \\ x_1=0 \\ x_2=x_3=-2

Итак, фактически у нас две точки — с абсциссой $x=0$ и с абсциссой $x=-2$ .

Но вот какая из них будет точкой касания, а не пересечения?

Мы можем построить график и определить графически. А можем использовать производную.

Производная функции — равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке касания.

Найдем производную:

y'=(x^3+4x^2+9x+11)'=3x^2+8x+9.

Приравняем к угловому коэффициенту прямой:

3x^2+8x+9=5 \\ 3x^2+8x+4=0.

Теперь проверим наши корни:

x=0 \, 4=0

— не подходит.

x=-2 \, 3 \cdot 4 -8 \cdot 2+4=12-16+4=16-16=0

— точка касания.

Получается, что точкой касания будет точка с абсциссой $x=-2$ .

Ответ: -2.