На рисунке изображены графики функции f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = -2x^2 + 4x + 3

Задача. На рисунке изображены графики функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = -2x^2 + 4x + 3$ , которые пересекаются в точках $A(0; 3)$ и $B\left(x_B; y_B\right)$ . Найдите $y_B$ .

oge-ege Рисунок к задаче. На рисунке изображены графики функции f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = -2x^2 — Рисунок к задаче

Решение

Для решения этой задачи мы используем информацию о том, что графики функций $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в определённых точках. Пересечение графиков означает, что в этих точках значения обеих функций равны. Даны координаты двух точек для функции $f(x)$ , что позволит нам найти коэффициенты $a$ , $b$ , и $c$ для функции $f(x)$ .

У нас есть следующие данные:

Функции $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точке $A(0; 3)$ . Это даёт нам значение $c$ для $f(x)$ , так как $f(0) = c$ .
Точки $E(1;-1)$ и $N(2;1)$ принадлежат графику функции $f(x)$ . Используя эти точки, мы можем составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ .

Составим систему уравнений, используя точки $E$ и $N$ для функции $f(x)$ :

f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 3 = -1 \\ f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 3 = 1

Это даст нам систему:

\begin{cases} a + b = -4 \\ 4a + 2b = -2 \end{cases}

Решим эту систему, чтобы найти значения $a$ и $b$ Затем, зная коэффициенты функции $f(x)$ , мы сможем найти $x_B$ из уравнения $f(x_B) = g(x_B)$ , а затем найдем $y_B$ .

Начнем с решения системы уравнений для коэффициентов $a$ и $b$ .

Решение системы уравнений даёт нам коэффициенты $a = 3$ и $b = -7$ . Мы уже знаем, что $c = 3$ .

Теперь у нас есть полное уравнение для $f(x)$ :

f(x) = 3x^2 - 7x + 3

Мы знаем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точке $B$ . Это означает, что в точке $B$ их значения равны. Таким образом, мы можем приравнять функции и найти $x_B$ :

3x_B^2 - 7x_B + 3 = -2x_B^2 + 4x_B + 3

Перенесем все члены в левую сторону уравнения:

3x_B^2 - 7x_B + 3 + 2x_B^2 - 4x_B - 3 = 0

Приведем подобные и упростим:

3x_B^2 + 2x_B^2 - 7x_B - 4x_B + 3 - 3 = 0 \\ 5x_B^2 - 11x_B = 0

Вынесем общий множитель x_B за скобки:

x_B(5x_B - 11) = 0

Из этого уравнения видно, что оно имеет два корня. Первый корень получается, когда $x_B = 0$ , и второй корень, когда $5x_B - 11 = 0$ .

Если $x_B = 0$ , то это соответствует точке пересечения $A$ , о которой мы уже знаем. Найдем второй корень:

\displaystyle 5x_B - 11 = 0 \\ 5x_B = 11 \\[5mm] x_B = \frac{11}{5}

Таким образом, второй корень уравнения равен $x_B = \frac{11}{5} или x_B = 2,2$ .

Решив уравнение, мы получили два значения для $x_B$ : 0 и 2,2. Значение 0 мы можем исключить, так как оно соответствует точке пересечения A(0; 3) , которая нам уже известна. Следовательно, $x_B = 2,2$ .

Теперь, чтобы найти $y_B$ , подставим значение $x_B$ в уравнение функции $g(x)$ :