Задача. На рисунке изображены графики функций f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение
Для решения данной задачи мы сначала найдем уравнения функций f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = kx + d, используя координаты данных точек, а затем найдем абсциссу точки В.
1. Найдем уравнение параболы f(x) = ax^2 + bx + c. Используем точки M(0; -4), C(1; 1) и A(-2; -2):
- Подставляя координаты точки M(0; -4) получаем c = -4.
- Подставляя координаты точки C(1; 1) получаем a + b - 4 = 1, откуда a + b = 5.
- Подставляя координаты точки A(-2; -2) получаем 4a - 2b - 4 = -2, откуда 4a - 2b = 2.
Решим систему уравнений \begin{cases} a + b = 5 \\ 4a - 2b = 2 \end{cases}:
- Умножим первое уравнение на 2: 2a + 2b = 10.
- Сложим с вторым уравнением: 6a = 12, откуда a = 2.
- Подставим a = 2 в первое уравнение: 2 + b = 5, откуда b = 3.
Таким образом, уравнение параболы: f(x) = 2x^2 + 3x - 4.
2. Теперь найдем уравнение прямой g(x) = kx + d. Используем точки D(-1; 2) и A(-2; -2):
- Подставляя координаты точки D(-1; 2), получаем -k + d = 2.
- Подставляя координаты точки A(-2; -2), получаем -2k + d = -2.
Решим систему уравнений \begin{cases} -k + d = 2 \\ -2k + d = -2 \end{cases} :
Вычтем первое уравнение из второго: -k = -4, откуда k = 4.
Подставим k = 4 в первое уравнение: -4 + d = 2, откуда d = 6.
Таким образом, уравнение прямой: g(x) = 4x + 6.
3. Найдем абсциссу точки В, приравняв f(x) = g(x):
2x^2 + 3x - 4 = 4x + 6 \\ 2x^2 - x - 10 = 0.Решим квадратное уравнение 2x^2 - x - 10 = 0 через дискриминант:
\displaystyle D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81. \\ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 9}{4}. \\ x_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5. \\ x_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2.Поскольку точка А имеет абсциссу -2, точка В имеет абсциссу 2,5.
Ответ: 2,5.
