Задача. Даны векторы \vec{a}(2; -5) и \vec{b}(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов 0,6\vec{a} и 1,4\vec{b}.
Решение
Скалярное произведение двух векторов \vec{a} и \vec{b} определяется как произведение длин этих векторов и косинуса угла между ними. В координатной форме, если векторы заданы своими координатами \vec{a}(a_x, a_y) и \vec{b}(b_x, b_y), скалярное произведение можно найти по формуле:
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_yВ нашем случае нам даны векторы \vec{a} и \vec{b} с координатами \vec{a} = (2; -5) и \vec{b} = (5; 7), и нам нужно найти скалярное произведение векторов 0,6\vec{a} и 1,4\vec{b}. Сначала найдем координаты этих новых векторов:
\displaystyle 0,6\vec{a} = 0,6 \cdot (2; -5) = (0,6 \cdot 2; 0,6 \cdot (-5)) = (1,2; -3) \\ 1,4\vec{b} = 1,4 \cdot (5; 7) = (1,4 \cdot 5; 1,4 \cdot 7) = (7; 9,8)Теперь, когда у нас есть координаты векторов 0,6\vec{a} и 1,4\vec{b}, мы можем найти их скалярное произведение:
\displaystyle (0,6\vec{a}) \cdot (1,4\vec{b}) = (1,2; -3) \cdot (7; 9,8) = 1,2 \cdot 7 + (-3) \cdot 9,8Теперь вычислим это выражение:
\displaystyle (0,6\vec{a}) \cdot (1,4\vec{b}) = 8,4 + (-29.4) = 8,4 - 29,4 = -21Скалярное произведение векторов 0,6\vec{a} и 1,4\vec{b} равно -21.
Ответ: -21.
