На рисунке изображён график функции f(x) = ax^2 + bx + c . Найдите ординату точки пересечения графика функции y = f(x) с осью ординат.

Задача. На рисунке изображён график функции f(x) = ax^2 + bx + c . Найдите ординату точки пересечения графика функции y = f(x) с осью ординат.

Решение

Для решения задачи нам нужно найти коэффициенты квадратного трехчлена f(x) = ax^2 + bx + c, который проходит через данные точки с координатами (-8;0), (-6;4), (-4;-4).

Поскольку точки принадлежат графику функции, они удовлетворяют уравнению f(x) , таким образом:

1. Для точки (-8;0):
a(-8)^2 + b(-8) + c = 0

2. Для точки (-6;4):
a(-6)^2 + b(-6) + c = 4

3. Для точки (-4;-4):
a(-4)^2 + b(-4) + c = -4

Из этих уравнений мы получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными a, b, и c. Решив эту систему, мы найдем значения коэффициентов.

\begin{cases} 64a - 8b + c = 0 \\ 36a - 6b + c = 4 \\ 16a - 4b + c = -4 \end{cases}

Вычтем из первого уравнения системы второе, и третье. Получим систему:

\begin{cases} 48a-4b=4\\ 28a-2b=-4 \end{cases}

Первое уравнение поделим на 4, а второе на 2:

\begin{cases} 12a-b=1\\ 14a-b=-2 \end{cases}

Вычтем из первого уравнения второе:

-2a=3

тогда \displaystyle a=-\frac{3}{2}

Подставим значение a в любое уравнение второй системы и найдем b.

\displaystyle b=12a-1=12 \cdot (-\frac{3}{2})-1=-18-1=-19.

Теперь подставим значения a и b в любое уравнение первой системы (где три уравнения) и найдем c:

\displaystyle 16a - 4b + c = -4 \\ 16 \cdot (-\frac{3}{2})-4 \cdot (-19)+c=-4 \\ -24+76+c=-4 \\ c=-4-76+24=-80+24=-56.

Решение системы уравнений дает нам коэффициенты квадратного уравнения f(x) = ax^2 + bx + c:

\displaystyle a = -\frac{3}{2} \\ b = -19 \\ c = -56

Теперь мы можем записать уравнение функции, которое проходит через данные точки:

\displaystyle f(x) = -\frac{3}{2}x^2 - 19x - 56

Ордината точки пересечения графика функции с осью ординат соответствует значению функции в точке x = 0. Значит, нам нужно найти f(0):

\displaystyle f(0) = -\frac{3}{2}(0)^2 - 19(0) - 56 \\ f(0) = -56

Таким образом, ордината точки пересечения графика функции с осью ординат равна -56.

Ответ: -56.