На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5)

Задача. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение

Функция f(x) убывает тогда, когда производная этой функции меньше нуля f'(x) < 0.

На рисунке есть два таких промежутка, мы можем указать их границы лишь примерно, так как точные значения нам не даны.

Это промежутки (-7; -3,5) и (-1,5; 2,5).

Перепишем все целые точки, которые входят в эти промежутки:

-6; -5;  -4;  -1; 0; 1 ; 2.

Теперь сложим их:

Ответ: -13.

Теория, которая использовалась при решении этой задачи, основывается на свойствах производной функции.

Теория

1. Производная функции и убывание/возрастание функции. Если производная функции f'(x) > 0 на некотором интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале. Если f'(x) < 0, то функция убывает.

2. Точки экстремума. Точки, где производная меняет свой знак (с плюса на минус или наоборот), часто являются точками экстремума функции. Если производная меняет знак с плюса на минус, это может быть максимумом, а если с минуса на плюс — минимумом.

В данной задаче нам предоставлен график производной f'(x), и на основе вышеперечисленной теории мы определяем интервалы убывания функции f(x) там, где f'(x) < 0.

Исходя из графика, были определены промежутки, где производная меньше нуля, и, соответственно, функция там убывает. Затем, чтобы ответить на конкретный вопрос задачи, были вычислены целые числа, входящие в эти промежутки, и их сумма.

Эта задача сочетает в себе графический анализ и знание свойств производной, поэтому она является обычной для ЕГЭ по математике.