Найдите точку минимума функции y=10x-ln(x+11)+3

Задача. Найдите точку минимума функции $y = 10x - \ln(x + 11) + 3$ .

Решение

Находим первую производную функции $y$ .

Функция y имеет вид $y = 10x - \ln(x + 11) + 3$ . Её производная $y'$ будет равна:

y' = (10x - \ln(x + 11) + 3)'

Применяя правила дифференцирования, получаем:

\displaystyle y' = 10 - \frac{1}{x + 11}

Находим критические точки.

Критические точки — это точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Таким образом, нам нужно решить уравнение $y' = 0$ :

\displaystyle 10 - \frac{1}{x + 11} = 0 \\ \frac{1}{x + 11} = 10 \\ x + 11 = \frac{1}{10} \\ x = \frac{1}{10} - 11 \\ x = -\frac{109}{10}=-10,9

Используем вторую производную для определения точки минимума.

Теперь находим вторую производную функции y :

\displaystyle y'' = \left(10 - \frac{1}{x + 11}\right)''=\left(- \frac{1}{x + 11}\right)''=\frac{1}{(x + 11)^2}

Проверяем знак второй производной в критической точке.

В критической точке $\displaystyle x = -\frac{109}{10}$ вторая производная будет положительной:

\displaystyle y''\left(-\frac{109}{10}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{109}{10} + 11\right)^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)^2}= 100

Поскольку вторая производная положительна, это означает, что в точке $\displaystyle x = -\frac{109}{10}$ функция имеет минимум.

Таким образом, точка минимума функции y находится в точке $\displaystyle x = -\frac{109}{10}=-10,9$ .

Ответ: -10,9.