Найдите корень уравнения 3^log27(8x+4)=4

Найдите корень уравнения $\displaystyle 3^{\log_{27}(8x+4)}=4$ .

Решение:

Число 27 это третья степень числа 3.

\displaystyle 3^{\log_{3^3}(8x+4)}=4

По свойству логарифма вынесем степень в основании логарифма и поставим перед ним:

\displaystyle \log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}\log_a{b}

Получим:

\displaystyle 3^{\frac{1}{3}\log_{3}(8x+4)}=4

Теперь снова внесем степень в логарифм, используя это свойство:

\displaystyle m \log_a{b}=\log_a{b^m}

Уравнение примет вид:

\displaystyle 3^{\log_{3}(8x+4)^{\frac{1}{3}}}=4

Используя основное логарифмическое тождество $\displaystyle a^{\log_a{b}}=b$ , получаем:

\displaystyle (8x+4)^{\frac{1}{3}}=4

Итак, у нас получилось кубическое уравнение. Чтобы найти корень — возведем в третью степень и левую и правую части и решим получившееся линейное уравнение.

\displaystyle ((8x+4)^{\frac{1}{3}})^3=4^3 \\  8x+4=64 \\ 8x=60 \\ x=7,5

Ответ: 7,5