Вокруг единичного куба ABCDA1B1C1D1 описана сфера. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 75° с плоскостью АВС.
а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.
Решение.
Мы имеем единичный куб ABCDA1B1C1D1, который вписан в сферу. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость АВМ образует с основанием ABCD угол 75о.
а) Построим линию пересечения сферы и плоскости, переходящей через точки А,В и М.
Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Единственным образом можно построить окружность, проходящую через три точки. Мы имеем только две общие точки окружности сечения и плоскости АВМ – это точки А и В. Найдем третью общую точку. Для этого продолжим отрезок ВМ, лежащий в грани ВВ1С1С до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Это общая точка окружности, сферы и плоскости грани ВВ1С1С. Точку К соединим с точкой А. Линия пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М – это окружность, описанная около треугольника АВК. Определим вид этого треугольника.
Если из точки К опустить перпендикуляр КК1 на плоскость основания, то основание перпендикуляра точка К1 будет лежать на ребре ВС (почему? Потому что точка К лежит в плоскости грани ВВ1С1С), и прямая АВ на плоскости основания куба, перпендикулярная ВК1 — проекции наклонной ВК, будет перпендикулярна и самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах), т.е. АВ⟘ВК.
Вывод: ∆ АВК — прямоугольный с углом АВК, равным 90о. АК — гипотенуза, и окружность, описанная около ∆ АВК, имеет диаметр АК. Тогда длину этой окружности мы найдем по формуле C=πd , где d=AK.
б) АК мы могли бы найти по теореме Пифагора, если бы знали ВК. По условию ∠CBK=75°. Почему? Потому что это линейный угол между плоскостью АВМ и плоскостью АВС. На самом деле: СВ⟘АВ (АВСD – квадрат) и ВК⟘АВ (только что доказывали). Проведем ВС1 — диагональ грани ВВ1С1С.
Если около квадрата ВВ1С1С описать окружность, то ВС1 будет диаметром этой окружности. Точка К лежит в плоскости грани и является точкой сферы, значит, лежит на этой окружности, поэтому ∠ВКС1 — прямой.
∠CBK=75°, следовательно, ∠С1ВК = 75°-45° = 30°.
