Найдите наибольшее значение функции y = (x + 4)^2 (x + 3)

Найдите наибольшее значение функции y = (x + 4)^2 (x + 3) — 6 на отрезке [-5; -3,5].

Задача. Найдите наибольшее значение функции $\displaystyle y = (x + 4)^2 (x + 3) - 6$ на отрезке $[-5; -3,5]$ .

Решение

Для решения задачи определим критические точки функции на данном отрезке и вычислим значение функции в этих точках, а также на концах отрезка. Для определения критических точек находим производную функции:

\displaystyle y'=((x + 4)^2 (x + 3) - 6)'=2(x+4)(x+3)+(x+4)^2=(x+4)(2x+6+x+4)=(x+4)(3x+10)

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\displaystyle y'=0 \\[5mm] (x+4)(3x+10)=0 \\ x+4=0

или

3x+10=0

Тогда корни уравнения:

x_1=-4 \\ x_2=-\frac{10}{3}

Точка $x_2=-\frac{10}{3}$ выходит за границу отрезка. Находим значения функции в точках — $x=-5, \; x=-4, \; x=-3,5$ .

\displaystyle y(-5)=(-1)^2 (-5+3)-6=-8 \\[5mm] y(-3,5)=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(-\frac{1}{2}\right)-6=-\frac{1}{8}-6=\frac{-49}{8}=-6,125 \\[5mm] y(-4)=(-4+4)^2(-4+3)-6=-6

Итак, мы получили три значения -8, -6,125 и -6.

Максимальным будет значение -6, так как оно правее всего расположено на числовой оси. Наглядно поведение функции можно посмотреть, построив ее график.

график функции (x + 4)^2 (x + 3) - 6 — График функции (x + 4)^2 (x + 3) — 6

Ответ: -6.