Задача. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.
Решение
Сделаем рисунок к задаче. Нам нужно найти объем пирамиды SABCD.
Нам дана пирамида SABCD. Дана также высота SH=6. Дан угол наклона граней к плоскости основания — прямоугольнику ABCD.
Обозначим стороны прямоугольника AB=CD=a и AD=BC=b, Тогда в прямоугольном треугольнике SAH катет \displaystyle AH=\frac{b}{2}. Зная, что угол A в этом треугольнике равен 60 градусов, найдем:
\displaystyle AH=\frac{SH}{tg 60^{\circ}}=\frac{6}{\sqrt{3}}.или
\displaystyle \frac{b}{2}=\frac{6}{\sqrt{3}}Тогда
\displaystyle b=\frac{12}{\sqrt{3}}.Проведем в боковой грани SBC высоту SM и соединим точку M с точкой H. Полученный треугольник SHM будет прямоугольным, так как SH высота пирамиды. А гипотенуза будет наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, то есть ∠M=60º.
Катет MH=a найдем через тангенс угла M:
\displaystyle MH=\frac{SH}{tg 60^{\circ}}=\frac{6}{\sqrt{3}}то есть
\displaystyle a=\frac{6}{\sqrt{3}}.Теперь мы можем найти площадь основания:
\displaystyle S_{ABCD}=ab=\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}}=24Теперь находим объем пирамиды:
\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3} \cdot SH \cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 24 = 2 \cdot 24=48.Ответ: 48.
