Найдите значение выражения 0,75^(1/4)*4^(1/2)*12^(3/4)

Задача. Найдите значение выражения $\displaystyle 0,75^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot 12^{\frac{3}{4}}$ .

Решение

Так как $\displaystyle 0,75=\frac{3}{4}$ и $12=3 \cdot 4$ , запишем:

\displaystyle 0,75^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot 12^{\frac{3}{4}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot \left(3 \cdot 4\right)^{\frac{3}{4}}

По свойствам степени:

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^n} \\[5mm] \left(a \cdot b\right)^m=a^m \cdot b^m

Перепишем выражение:

\displaystyle 0,75^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot 12^{\frac{3}{4}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot \left(3 \cdot 4\right)^{\frac{3}{4}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 4^{\frac{3}{4}}=3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{3}{4}}\cdot \frac{4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}} \\[5mm] 3^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=3^1 \cdot 4^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=3^1 \cdot 4^1=3 \cdot 4=12

Ответ: 12.