Задача. Найдите наибольшее значение функции y = x^5 + 5x^3 - 140x на отрезке [-8; -1].
Решение
Чтобы найти наибольшее значение функции y = x^5 + 5x^3 - 140x на заданном отрезке, нам нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции y, чтобы определить критические точки на интервале.
- Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Начнём с нахождения производной функции y:
y' = 5x^4 + 15x^2 - 140.Теперь найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
5x^4 + 15x^2 - 140 = 0.Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить вычисления:
x^4 + 3x^2 - 28 = 0.Заметим, что это квадратное уравнение относительно x^2. Обозначим x^2 = t, где t \geq 0, тогда уравнение примет вид:
t^2 + 3t - 28 = 0.Решим это квадратное уравнение:
\displaystyle D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121, \\ \sqrt{D} = 11.Теперь найдем корни уравнения:
\displaystyle t_1 = \frac{-3 + 11}{2} = 4, \\ t_2 = \frac{-3 - 11}{2} = -7.Поскольку t является квадратом x и не может быть отрицательным, отбросим корень t_2 = -7. Для t_1 = 4 имеем x^2 = 4, откуда x = \pm2. Однако, поскольку наш интервал лежит в пределах от -8 до -1, только отрицательное значение x = -2 находится внутри интервала.
Теперь проверим значения функции в точке x = -2 и на концах отрезка x = -8 и x = -1:
\displaystyle y(-8) = (-8)^5 + 5(-8)^3 - 140(-8), \\ y(-2) = (-2)^5 + 5(-2)^3 - 140(-2), \\ y(-1) = (-1)^5 + 5(-1)^3 - 140(-1).Вычислим эти значения:
\displaystyle y(-8) = -32768 + 5 \cdot (-512) + 1120 = -32768 - 2560 + 1120 = -37408, \\ y(-2) = -32 + 5 \cdot (-8) + 280 = -32 - 40 + 280 = 208, \\ y(-1) = -1 + 5 \cdot (-1) + 140 = -1 - 5 + 140 = 134.Из трёх значений функции наибольшее значение в точке x = -2, которое равно 208.
Ответ: 208.