В верхнем ящике стола лежат 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика.

Задача. В верхнем ящике стола лежат 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.

Решение

Для того, чтобы в верхнем ящике стола стало 11 белых и 14 черных кубиков, должны произойти следующие события:

1. Ваня достает из верхнего ящика 1 белый кубик и 1 черный кубик, а Толя достает из нижнего ящика 2 белых кубика.
2. Ваня достает 2 черных кубика, а Толя — 1 белый и 1 черный кубики.

Действительно, если Ваня в первом случае берет 1 белый кубик и 1 черный, то остается там 9 белых и 14 черных, Толя кладет в верхний ящик стола 2 белых кубика и получается 11 белых и 14 черных.

Во втором случае Ваня взял из верхнего ящика 2 черных кубика, и осталось 10 белых и 13 черных, Толя положит 1 черный и 1 белый — станет 11 белых и 14 черных.

Теперь нам нужно посчитать вероятность в каждом случае и затем сложить эти вероятности.

Для расчета вероятности воспользуемся классическим определением вероятности, которая равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Случай 1: Ваня берёт 1 белый и 1 черный кубик, Толя берёт 2 белых кубика.

Вероятность того, что Ваня сначала вытянет белый кубик:

\displaystyle \frac{10}{25}

Затем, вероятность того, что следующий вытянутый кубик будет черным:

\displaystyle \frac{15}{24}

Теперь умножим две вероятности, чтобы получить общую вероятность события Ваня взял 1 белый и 1 черный кубики.

\displaystyle \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24} = \frac{10 \cdot 15}{25 \cdot 24}= \frac{150}{600} = \frac{1}{4}

Но есть еще один способ вытянуть 1 белый и 1 черный кубик — сначала черный, потом белый:

• черный: \displaystyle \frac{15}{25}
• белый: \displaystyle \frac{10}{24}

Общая вероятность:

\displaystyle \frac{15}{25} \cdot \frac{10}{24} = \frac{150}{600} = \frac{1}{4}

Суммарная вероятность события «Вани взял 1 белый и 1 черный кубик»:

\displaystyle P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Вероятность того, что Толя берет 2 белых кубика:

• взял первый белый кубик: \displaystyle \frac{15}{25}
• взял второй белый кубик: \displaystyle \frac{14}{24}

Общая вероятность события «Толя взял 2 белых кубика»

\displaystyle \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}=\frac{210}{600}= \frac{7}{20}

Суммарная вероятность для первого случая:

\displaystyle P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{20}= \frac{7}{40}

Случай 2: Ваня берёт 2 черных кубика, Толя берёт 1 белый и 1 черный кубик.

Рассуждаем аналогично.

Вероятность того, что Ваня берет 2 черных кубика:

\displaystyle \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} = \frac{210}{600} = \frac{7}{20}

Вероятность того, что Толя берет 1 белый и 1 черный кубик (рассчитывается аналогично вероятности того, как Ваня брал 1 белый и 1 черный кубик):

\displaystyle \frac{15}{25} \cdot \frac{10}{24}+\frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24}=2\frac{15 \cdot 10}{25 \cdot 24}=\frac{1}{2}

Суммарная вероятность для второго случая:

\displaystyle P_2 = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{2}= \frac{7}{40}

Итоговая вероятность

Итоговая вероятность P того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, будет равна сумме вероятностей обоих случаев:

\displaystyle P = P_1 + P_2 \\  P = \frac{7}{40} + \frac{7}{40}=\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0,35

Вероятность того, что после обмена в верхнем ящике будет 11 белых и 14 черных кубиков, составляет 0,35 или 35%.

Ответ: 0,35.