![Решение задачи ЕГЭ по математике (профиль). Найдите наименьшее значение функции y = 4/3 x√x - 3x + 9 на отрезке [0,25; 30].](https://oge-ege.info/wp-content/uploads/2023/12/reshenie-zadachi-ege-po-matematike-profil.-naydite-naimenshee-znachenie-funktsii-y-4_3-x-x-3x-9-750x400.jpg)
Задача. Найдите наименьшее значение функции \displaystyle y = \frac{4}{3} x\sqrt{x} - 3x + 9 на отрезке [0,25; 30].
Решение
Для решения этой задачи применим производные. Сначала найдем производную функции \displaystyle y = \frac{4}{3} x\sqrt{x} - 3x + 9 по x, чтобы определить возможные экстремумы на данном отрезке [0,25; 30].
Производная y' функции y будет равна:
\displaystyle y' = \frac{4}{3} \left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right) - 3 \\ y' = 2\sqrt{x} - 3Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
\displaystyle 2\sqrt{x} - 3 = 0 \\ 2\sqrt{x} = 3 \\ \sqrt{x} = \frac{3}{2} \\ x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ x = 2,25Значение x = 2,25 принадлежит отрезку [0,25; 30]. Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нам нужно проверить значения функции в критической точке и на концах отрезка.
1. Вычислим значение функции в критической точке x = 2,25:
\displaystyle y(2,25) = \frac{4}{3} \cdot 2,25 \cdot \sqrt{2,25} - 3 \cdot 2,25 + 9=\frac{4}{3} \cdot 3,375 - 6,75 + 9=4,5 - 6,75 + 9=6,752. Вычислим значение функции на левом конце отрезка x = 0,25:
\displaystyle y(0,25) = \frac{4}{3} \cdot 0,25 \cdot \sqrt{0,25} - 3 \cdot 0,25 + 9= \frac{1}{3} \cdot 0,125 - 0,75 + 9 = 0,0417 - 0,75 + 9 = 8,29173. Вычислим значение функции на правом конце отрезка x = 30:
\displaystyle y(30) = \frac{4}{3} \cdot 30 \cdot \sqrt{30} - 3 \cdot 30 + 9 \approx 219,089-90+9 \approx 138,089.Наименьшее из этих трех значений и будет наименьшим значением функции на отрезке [0,25; 30].
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке [0,25; 30] будет в точке x = 2,25 и равно примерно 6,75.
Ответ: 6,75.
