Задача. Найдите наименьшее значение функции y = 6x - 6\sin x + 17на отрезке \left[0; \frac{\pi}{2}\right].
Решение
Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, сначала найдем производную функции, потому что локальные минимумы и максимумы функции могут быть найдены среди корней производной функции, а также на концах отрезка.
Дана функция y = 6x - 6\sin x + 17 .
Найдем производную функции по x :
y' = 6 - 6\cos xЗатем приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
6 - 6\cos x = 0 \\ \cos x = 1Косинус равен единице при x = 0, и это единственная точка на отрезке [0; \frac{\pi}{2}], где это происходит. Теперь нам нужно проверить значения функции в критической точке и на концах отрезка, чтобы увидеть, где функция принимает наименьшее значение.
Подставим x = 0:
y(0) = 6 \cdot 0 - 6\sin(0) + 17 = 17Теперь подставим x = \frac{\pi}{2}:
\displaystyle y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cdot \frac{\pi}{2} - 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 17 = 3\pi + 11Сравним полученные значения. Поскольку 3\pi примерно равно 9,42, значение функции на конце отрезка будет больше 17.
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0; \frac{\pi}{2}] равно 17 и достигается при x = 0.
Ответ: 17.