Найдите наименьшее значение функции y = 6x — 6\sin x + 17 на отрезке [0; pi/2]

Найдите наименьшее значение функции y = 6x - 6\sin x + 17 на отрезке [0; pi/2] ЕГЭ

Задача. Найдите наименьшее значение функции y = 6x - 6\sin x + 17на отрезке \left[0; \frac{\pi}{2}\right].

Решение

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, сначала найдем производную функции, потому что локальные минимумы и максимумы функции могут быть найдены среди корней производной функции, а также на концах отрезка.

Дана функция y = 6x - 6\sin x + 17 .

Найдем производную функции по x :

y' = 6 - 6\cos x

Затем приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

6 - 6\cos x = 0 \\ \cos x = 1

Косинус равен единице при x = 0, и это единственная точка на отрезке [0; \frac{\pi}{2}], где это происходит. Теперь нам нужно проверить значения функции в критической точке и на концах отрезка, чтобы увидеть, где функция принимает наименьшее значение.

Подставим x = 0:

y(0) = 6 \cdot 0 - 6\sin(0) + 17 = 17

Теперь подставим x = \frac{\pi}{2}:

\displaystyle y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cdot \frac{\pi}{2} - 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 17 = 3\pi + 11

Сравним полученные значения. Поскольку 3\pi примерно равно 9,42, значение функции на конце отрезка будет больше 17.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0; \frac{\pi}{2}] равно 17 и достигается при x = 0.

Ответ: 17.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии